Die Flächeninhaltsfunktion
ist eine Stammfunktion von f . Diese Stammfunktion ist nun ist für alle x aus ]a; b[ differenzierbar, und es gilt: ;
Für jede andere Stammfunktion F(x) = A(x) + c (
).
Mit einer beliebigen Stammfunktion F von f kann das bestimmte Integral auf
folgende Art berechnet werden:
Wir stellen folgende Überlegung an:
A. Lindner 2005, erstellt mit GeoGebra
Zunächst betrachten wir eine beliebige stetige Funktion f und deren zugehörigte Flächeninhaltsfunktion (Integralfunktion) A(x) der von a bis zur oberen variablen Grenze x reichenden Fläche zwischen dieser Kurve und der x-Achse.
Wir wissen sicher, daß dieser Flächeninhalt existiert, da man ihn über die Definition des Integrals als Grenzwert der Ober- beziehungsweise Untersumme berechnen können Dass dieser Flächeninhalt tatsächlich existiert, wissen wir bereits, da wir ihn als Grenzwert der Ober- bzw. Untersummen berechnen können.
Die Bezeichnung
verwendet als Integrationsvariable die Variable t, da x als veränderliche s benutzt wird.
A. Lindner 2005, erstellt mit GeoGebra
Wie verändert sich nun der Flächeninhalt, wenn man von x aus ein kleines Stück Dx weiter nach rechts geht?
Zum Flächeninhalt A(x) kommt noch ein kleines St+c DA hinzu.
A. Lindner 2005, erstellt mit GeoGebra
Das kleine Flächenstück DA ist kein Rechteck.
Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung folgt, dass es eine Stelle x geben muss, so dass f(x) . Dx das entspricht dem Flächeninhalt des grünen Rechtecks - gleich ist dem Flächeninhalt DA ist.
Im grün gezeichneten (Sekanten)Dreieck erkennt man als senkrechte Kathete DA = A(x+Dx) - A(x).
A. Lindner 2005, erstellt mit GeoGebra
Dieser Wert ist gleich
DA = A(x+Dx)
- A(x) =
f(x) Dx
Das bedeutet aber, dass f(x) genau der Steigung der Sekante im Punkt A(x) entspricht.
A. Lindner 2005, erstellt mit GeoGebra
Führt man nun einen Grenzübergang für Dx
gegen 0 durch, so erhält man wegen der Stetigkeit von f
A'(x) = f(x)
d.h. f(x) stellt genau die Steigung der Tangente im Punkt A(x) dar!
A. Lindner 2005, erstellt mit GeoGebra
Wie wir gerade gesehen haben, ist die Flächeninhaltsfunktion (Integralfunktion) A(x) eine Stammfunktion von f. Alle anderen Stammfunktion F(x) können sich deshalb nur um eine Konstante c von A(x) unterscheiden.
F(x) = A(x) + c ()
Sei F(x) = A(x) + c
Für x = a folgt: F(a) = A(a) + c = 
= 0 + c => F(a) = c ;
für x = b folgt: F(b) = A(b) + c = 
+ c
=>
= F(b) - c = F(b) - F(a)